미적분은 수학의 꽃이라고 불릴 정도로 전체 수학에서 차지하는 비중이 매우 큰 학문입니다. 사실 미적분 실생활 활용도 우리 주변에 무수히 있습니다. 하지만 미적분을 공부하는 대부분의 고등학생에게 미적분 실생활에 얼마나 밀접한지를 물어보면 거의 쉽게 대답을 못하는 것 같습니다. 한국의 수학교육이 주로 문제해결 위주로 이루어지고 있기 때문이 아닐까 생각합니다. 그러나 수학 분야의 진로를 진지하게 고민하고 있는 학생이라면 미적분 실생활 활용에 어떤 것이 있을지 궁금하실 것입니다.
이번 포스팅에서는 미적분 실생활 활용 몇 가지를 소개해드리고자 합니다. 그동안 교과서나 문제집에서는 절대 접할 수 없었던 미적분 실생활 활용 사례를 접함으로써 여러분의 수학적 사고가 한층 올라가길 바랍니다.1. 도로 설계
우리나라는 다른 나라에 비해 산이 많고 지형이 울퉁불퉁해서 도로가 구불구불한 곡선 형태로 설계되는 경우가 많습니다. 특히 이렇게 꼬불꼬불한 도로는 항상 제한 속도가 붙습니다.
어떤물체가곡선위를움직일때는물체는그곡선의접선방향으로움직이려고하는성질을갖습니다. 그래서 과속을 하면 자동차가 도로 밖으로 탈주해 버리는 사고가 발생할 수 있지요. 꼬불꼬불한 도로에 제한 속도가 붙는 이유는 바로 이 때문입니다.
이때 곡선 접선의 기울기를 계산하여 도로의 곡률이 어느 정도가 적당한지, 이 정도 곡률에는 어느 정도 속도가 적당한지를 알아볼 수 있습니다.2. CT 촬영
CT촬영이란 신체 특정 부분의 X선 사진을 여러 장 찍어 겉으로는 잘 보이지 않는 신체 내부의 모양을 알아보는 것을 말합니다. 이를 통해 암 덩어리와 종양의 염증 등을 발견하기도 합니다.
특정 신체 부위에 X선을 받을 때 X선이 지나는 도중에 놓인 물체의 길이에 따라 흡수된 양이 결정되어 형체가 나타납니다. 그런데 이런 X선 촬영을 한 번씩 회전하면서 하나씩 찍으면 시각화가 가능합니다. 따라서 수학적으로 X선 흡수량은 적분값을 구하는 문제와 같습니다.
이렇게 다양한 각도로 찍은 X선 사진을 찍어서 얻은 사진을 시각화한 것을 사이노그램이라고 합니다. 사이노그램은 푸리에 변환이라는 것을 이용해 적분하면 영상까지도 복원이 가능합니다.3) 애니메이션 제작
디즈니나 토이스토리의 애니메이션을 보면 캐릭터들의 모양이나 동선이 매우 매끄럽고 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다. 일본 애니메이션과 가장 대조적인 부분이라고 생각합니다.
미국 애니메이션이 이런 것이 가능한 이유는 미적분을 활용하기 때문입니다. 일본처럼 애니메이션을 직접 그려 제작하면 곡선이 다소 어색해질 수 있습니다. 그러나 미적분을 이용하여 그림만으로는 불완전한 곡선의 기울기를 분석하여 보다 정교하고 부드러운 곡선을 만들 수 있습니다.4.3D 프린터
3D프린터는 컴퓨터에 있는 3차원 설계도를 그대로 실체로 구현하는 기술을 말합니다. 3D 프린터로 된 것을 잘 만져 보면 표면이 거칠거칠한 것을 알 수 있습니다. 한 층씩 쌓는 형태로 만들어졌기 때문입니다.
다시 말해 3차원 제품을 가로축을 기준으로 2차원 평면이 되도록 잘게 쪼개서 아래에서 한층 쌓았다는 의미가 됩니다. 미적분의 원리와 같습니다.
실제로 3D프린터 작업을 할 때에도 3차원 입체 구현 프로그램을 이용하여 도면을 그리고 3차원 도면을 미분하듯 잘게 쪼개 분석하고 이렇게 나뉜 것을 차곡차곡 쌓아 굳히는 방식으로 이루어집니다. 애초에 3D프린터의 기초적인 원리 자체가 미적분인 셈입니다. 최근에 개발된 신기술에서도 미적분 실생활이 활용될 수 있죠?5. 심박수 측정
심박수란 단위 시간당 심박수에 따라 심장 밖으로 내보내는 혈액의 양을 말합니다. 심장의 건강 상태를 조사할 때 가장 많이 사용되는 지표인 것이군요.
심박수를 측정할 때 염료 희석법이 많이 사용되는데, 이때 미적분이 사용됩니다. 염료 희석법은 염료를 우심방에 넣어 염료가 심장을 거쳐 대동맥으로 들어가게 합니다. 그리고 대동맥에서 심장을 벗어나는 염료의 농도를 염색약이 모두 없어질 때까지 일정 시간 간격으로 측정하여 염료의 양을 구하고 이를 이용하여 심박수를 계산하는 것이 염료 희석법입니다.
이때 염료가 없어지는데 걸리는 시간을 t이라고 하고, 대동맥에서 감지되는 염료의 농도를 c(t)라고 하면 그래프를 그렸을 때의 넓이가 심박출량이 됩니다. 실제 간호학이나 의학에서 다루는 부분이기도 하고 가끔 고등학교 시험 문제에서도 출제되는 미적분 실생활 활용 사례인 것 같습니다.6. 화학반응속도의 계산
고등학교 교과과정에서는 다루지 않지만 대학에서 이공계 학문을 배우면 1학년 때부터 화학 분야에서 미적분을 사용하게 됩니다.(일반화학참고) 대표적인 것이 화학반응으로 반응속도를 계산하는 것입니다.
A→B와 같은 반응이 있다고 가정하며, 이 반응이 A에 대한 0, 1, 2차 반응일 경우 시간에 따른 A의 농도를 적분속도식을 통해 나타낼 수 있습니다. 0, 1, 2차 반응별로 반응속도식이 존재하기 때문에 암기하면 문제를 풀 수 있습니다.7) 영화에서의 CG
쓰나미가 도시를 덮치거나 바다가 사람과 교감하는 장면, 눈보라가 치는 장면 등 현실에서는 구현하기 어려운 장면들이 영화에서 많이 등장합니다. 이것은 실제로 촬영을 한 것이 아니라 미분 방정식을 풀고 나온 태양을 시각화시킨 것입니다. 특히 물과 같은 유체를 표현하는 과정에서는 네비에-스토크스 방정식과 같은 매우 중요한 개념이 자주 사용됩니다.
기존 네비에-스토크스 방정식에 레벨 세트(levelset)라는 개념을 추가적으로 결합하면 영화 속 장면을 보다 역동적으로 표현할 수 있습니다. 레벨셋이란물체의움직임을표현하기위해서물체간의경계를표현하는개념입니다. 이를 통해 불연속적으로 보이는 변화를 연속적인 현상으로 보여줄 수 있습니다. 8. 우주발사체
미적분학이 가장 많이 쓰이는 분야를 하나만 꼽는다면 대부분 항공우주 분야를 말하지 않을까 싶습니다. 실제로 이상 로켓 방정식을 이용하여 계산된 로켓의 시간에 따른 추진력은 미적분학의 응용으로 만들어졌습니다.
또한 비행 쿼드는 안정적인지, 로켓의 비행 궤도는 어떻게 예상되는지, 도착 예정 시간은 언제인지, 에너지 비용은 어느 정도까지 모두 미적분이 사용됩니다.
천문학자들은 미적분학이 이 세상과 우주를 구현하고 표현하는 데 가장 많이 쓰일 수밖에 없는 학문이라고 말합니다.미적분 실생활 활용 사례를 8개나 살펴봤습니다. 미적분은 우리 사회 각계 분야에 두루 응용되고 있는 무한한 가능성의 학문이라고 할 수 있습니다. 괜히 수학의 꽃이라고 불리잖아요. 어쩌면 수학 분야의 진로를 꿈꾸는 학생들이 위와 같이 미적분 실생활을 활용하는 것과 관련된 일을 하게 될지도 모르는 일입니다.